高階定数係数斉次線形微分方程式

次の各小問において, 微分方程式の解をすべて求めよ. ただし, \(D=\tfrac{d}{dx}\) とし, \(C_k\) \((k=1,2,\dots)\) を任意定数として用いて良い.

(1) 実根のみ

解答と解説

• 特性根が異なる実根だけの場合，各実根 \(a\) に対して \(e^{ax}\) が出る。
• 一般解はそれらの線形結合。

(2) 虚根のみ

解答と解説

• 因子 \(((D-a)^2+b^2)\) は特性根 \(a \pm bi\) に対応する。
• 実数値解として \(e^{ax}\cos bx\) と \(e^{ax}\sin bx\) が出る。
• 一般解は各因子から出る解の線形結合。

(3) 実根が多重度 \(m\)

解答と解説

• \((D-a)^m\) は実根 \(a\) が多重度 \(m\) であることを表す。
• \(e^{ax}, xe^{ax}, \ldots, x^{m-1}e^{ax}\) が出る。
• 解答は \(e^{ax}\) に次数 \(m-1\) 以下の多項式をかけた形でまとめてよい。

(4) 虚根が多重度 \(m\)

解答と解説

• \(((D-a)^2+b^2)^m\) は虚根 \(a \pm bi\) が多重度 \(m\) であることを表す。
• 解答は \(e^{ax}\{P(x)\cos bx + Q(x)\sin bx\}\) の形でまとめてよい。
• \(P(x), Q(x)\) は次数 \(m-1\) 以下の多項式。

(5) 一般の場合

解答と解説

• 実根部分と虚根部分をそれぞれ処理し，それらを足し合わせる。
• 実根の重根から出る項と，虚根の重根から出る項を分けて書く。